2014年漯河选调生考试行测老大难:容斥问题

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　　在选调生考试行测数学运算中，计数问题是一个常考考点，而这类问题也常出现困扰我们很多考生的难题。容斥问题看起来复杂多变，且题目中的等量关系常常也不是很容易找出来，所以，常常使得我们的考生朋友们在见到这类题目的时候会不知题目所云。

　　专家针对容斥问题进行讲解。容斥问题是解决集合与集合的交集问题的一类题目。而容斥问题的解题思路如它的名称所言——先容后斥。

　　也就是在计算容斥问题时，先把满足于某条件各个集合包含的对象的数目先以加和的形式计算出来，也就是“先容”的过程，然后再把计算时计重了的对象数目以减的形式排斥出去，这就是所谓的“后斥”。我们在计数时必须要想办法保证全面而无重复，这也就是容斥原理的核心思想。

　　观察近几年的国家公务员考试行测考题，我们发现容斥问题题目条件比较容易出现错综复杂的情况，所以在解决容斥问题我们推荐考生朋友们学会借助图形去解决，即文氏图。

　　文氏图是用封闭曲线内部的区域来表示集合及其集合之间关系的图形。

　　例如：

　　某个班有学生100人，在一次考试中，语文考试达到90分的有70人，数学考试达到90分的有75人。

　　(1)若该班每名学生在语文、数学两科目中至少有一科达到90分以上，求两科都达到90分以上的有多少人?

　　(2)若不知该班各个个体考得如何，求两科达到90分以上的多有多少人?少有多少人?

　　图1

　　如上图1，图中A表示语文考试达到90分的人的集合，图中B表示数学考试达到90分的人组成的集合.

　　解疑释惑：

　　若题目条件如(1)所言，那么上图1中的A、B、C(黄、绿、红三块)则分别表示仅语文达90分以上的集合，仅数学达90分以上的集合和两科都达90分以上的集合，因为“该班每名学生在语文、数学两科目中至少有一科达到90分以上”，所以这三个集合的总数加起来就是全班总人数100。而根据前文所述的容斥原理解题思路“先容后斥”，咱们在计算这题的过程中就可以得到等量关系：

　　100=70+75-C

　　所以C=70+75-100=45。

　　该题如问则是相对简单的情况，给出两个量，和他们的并集，要求两者交集的情况就用并集减去总量即可。

　　若题目条件如(2)所言，想求两者交集多，即求C大的情况，那么，就让A、B尽量多重叠，极限情况就是A完全容于B，当中，即70人;

　　而要想求两者小，那么就是让A、B尽量少重叠，极限情况是什么呢?

　　要想C尽量小，那么A,B之间就要尽量地拉开距离，拉得开的情况是后A,B,C三块占满整个全集I，此时有C小，全集I=黄+绿+红=70+57-C

　　故两者交集小为C=70+75-I=45。

　　求交集小的情况，在图形上直接显示为集合之间拉得开，仅限情况是终各块占满整个全集，此时即得交集小。

　　专家认为,对于复杂的容斥问题，我们通过话文氏图的方式辅助我们分析等量关系，能够大大提高解题速率，找到题目的突破口，大家一定要勤加练习，好好掌握此种方法。

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